《知識問答》什麼是克利福德代數 和狄拉克算子有什麼關系?

一樓:

簡單回答一下,有進一步問題再補充。

Clifford代數是grassmann代數/外代數的量子變形(內積等價於奇數的辛結構),Clifford代數是費米子系統的觀測代數(正則量子化);Clifford代數中的元素可以理解為奇辛空間中的微分算子。

並行,weyl代數/Heisenberg代數的中心擴展是多項式代數的量子變形(關於辛結構或泊松結構),Heisenberg代數是玻色子子系統的觀測代數(正則量子化)。

狄拉克算符描述了固定規范場和經典費米場之間的相互作用(如電磁場對電子的影響),是經典的。

經典費米子場/物質場用時空中自旋束的截面表示,自旋是正交群的泛重疊群的表示。旋量群的表示是正交群的旋量(多值)表示。狄拉克算子是Clifford代數中一種特殊的帶值連接/協變導數/協變微分。

物理上,克利福德代數和海森堡代數對應於非退化內積和辛結構。從數學上講,這個非退化條件可以去掉,構造仍然有意義。因此,在數學上,克利福德代數並不局限於非退化內積,也不局限於正定性,而是可以有符號差。

二樓:董瑞

我無法用一兩句話解釋清楚這種關系。讓我們讀一下筆記。

http://

bcc.impan.pl/16Noncomm-SIII/uploads/ncit10.

然而,pdf Dirac算子是一個神奇的東西。例如,如果是黎曼旋流形,考慮譜三元組:這裡是世界上的復值函數,世界上的旋量叢,世界上所有平方可積截面組成的希爾伯特空間,狄拉克算子。

是:對於任意兩點,測地線距離為:

也就是說,可以直接用狄拉克算子來定義距離。

例如,對於,它的微分形式。

還有一些其他的幾何性質,沒有一個例子給出。簡而言之,譜三元包含了這個黎曼旋流形的所有幾何信息。

因此,黎曼自旋流形中的定義可以推廣到一般的譜三重,即使你的代數是非交換的。這些是在非交換幾何中要研究的東西。當然,一般譜三元組中的狄拉克算子可能與克利福德代數無關,隻需要滿足即可。

三樓:onestruggler

是滿足“Clifford”條件的代數。

那你得先搞清楚什麼是代數。

簡單來說就是把乘法加到向量空間上——向量A *向量B=向量c .乘法必須滿足一些性質,可以組合,包含單位元素,兼容等。比如三維向量空間中有一個叉積(外積、叉積、叉積),是乘法,但不滿足約束定律。我稍後會舉一個滿足約束性法律的例子。

克利福德的情況怎麼樣?

先說出來。

帶乘法的v向量空間,這是代數。

S – S V,S是V的子空間(子代數,繼承乘法,接近乘法)

Q – S上的一個二次型(回憶純二次多項式-矩陣-二次型)

好了,克利福德的情況是這樣的:

1)對於S中的任何a,

一個公式(1)

這裡,*是V上的乘法,1是乘法的單位。

2) V要滿足普遍性的本質。可以理解為,對於某個S,V是“最小”的(一般嚴格定義的話,V是由S構造的,我覺得倒過來也容易理解)

一個例子勝過千言萬語:

V=2-D實向量空間,選擇基A,b .幾何是一個平面,a – x軸上的單位向量和b – y軸上的單位向量。乘法a * a=a,a * b=b,b * a=b,b * b=-a a。

練習:(x a y b)* (x a y b)=?練習:

滿足乘法和組合定律。

S=R a,基A的一維空間,即X軸。繼承了乘法x a * y a=xy a,閉包成立。

Q=[1],1*1矩陣。S中的任意(x a),q (x a)=x 2

1)S中的任何(x a),

(x a) * (x a)=x^2 a=Q(x a)a=Q(x a)* 1

最後一個等式成立,因為根據乘法的定義,A是單位元素。

2)最小值不易解釋。

我在胡說八道,V是二維的,S是一維的,V真的包含S,維度最小。

好,現在V是一個Clifford代數,他隻不過是復數系統(a=1,b=i)。

來自維基

“它們推廣了實數、復數、四元數和其他幾個超復數系統.”

嚴謹易懂的筆記

http://www。

cis.upenn.edu/~cis610/c

lifford.pdf